Comparación de métodos para encontrar raíces

Método Tipo Requisitos Riesgos Convergencia Ventajas Desventajas Tolerancia al error Tipo de raíces que encuentra Cuántas raíces encuentra
Bisección cerrado Se debe saber de antemano un intervalo en donde la función contiene una raíz, además, la función debe ser continua en un intervalo de busqueda [a, b] Ninguno si se cumple con los requisitos previos Si se cumple con los requisitos previos se garantiza su convergencia Es mucho más seguro que otros métodos en el sentido de que garantiza la convergencia Es menos eficiente que el método de Newton-Raphson Se usa el error absoluto Reales Una
Newton-Raphson abierto Sólo requiere un valor de inicio x y la derivada de la función A veces diverge o se aleja de la raíz verdadera a medida que se avanza en el cálculo. Con base en la serie de Taylor, tenemos que la velocidad de la convergencia está expresada por E_{i+1} = O(E_{i^2}); de esta manera el error debe de ser proporcional al cuadrado del error anterior Cuando sí converge, lo hacen mucho más rápido que los métodos cerrados en el caso de raíces múltiples e inclusive en raíces simples se nos pueden llegar a presentar algunas dificultades, como por ejemplo convergencia lenta o casos en el que un punto de inflexión* se encuentra en la vecindad de una raíz Se usa el error iterativo Reales Una
Secante abierto necesitamos conocer las dos aproximaciones anteriores la convergencia no se asegura si la primera aproximación a la raíz no es lo suficientemente cercana a ella, ni tampoco se asegura cuando la raíz es múltiple el orden de convergencia en un punto cercano a la solución es φ (número áureo). En caso de que la aproximación inicial sea demasiado lejana o la raíz no sea simple, este método no asegura la convergencia No se necesita el calculo de la derivada Su velocidad de convergencia es menor al de otros métodos abiertos Se usa el error iterativo Reales Una
Bairstow Abierto La función debe ser un polinomio. Los polinomios de grado muy alto o impar con multiplicidad total a una raíz pueden hacer que el método falle o que el resultado no sea tan exacto. Si se utiliza Newton-Raphson para calcular las raíces, es cuadrática. Puede encontrar todas las raíces de una función si se trata de un polinomio. No funciona con funciones trigonométricas o exponenciales. Gran tolerancia al error, no se indetermina con tanta facilidad como otros métodos, y en casos de polinomios de muy alto grado, da resultados aceptables. Reales y complejas Dependiendo de la implementación, puede llegar a calcular desde dos hasta n raíces que tenga el polinomio

Método de la secante

Método Secante

El método de la secante es un algoritmo para encontrar la raíz de una función que se asume que es aproximadamente lineal en la región de interés. Cada aproximación se toma como el punto donde la linea secante corta el eje x.

secantmethod

Método secante

En qué consiste

Se basa en obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (x_i-1, f(x_m.1)) y (x_i, f(x_i)). A dicha recta se le llama secante por cortar la gráfica de la función. Posteriormente se escoge como siguiente elemento de la relación de recurrencia x_i+1, la intersección de la recta secante con el eje de las abscisas obteniendo la fórumula y un nuevo valor. A continuación continuamos con este proceso, hasta llegar a un nivel de precisión suficientemente alto (una diferencia suficientemente pequeña entre x_n y x_n-1).

Se basa en la fórmula de Newton-Raphson, pero evita el cálculo de la derivada usando la siguiente aproximación:

f'(x) ≈ (f(x_i-1) – f(x_i)) / (x_i-1 – x_i)

Sustituyendo en la fórmula de Newton-Raphson obtenemos:

x_i+1 = x_i – f(x_i)/f'(x_i) ≈ x_i – (f(x_i) * (x_i-1 – x_i) / f(x_i-1) – f(x_i))

Requisitos previos

Es importante notar que para poder calcular la siguiente aproximación x_i+1 necesitamos conocer las dos aproximaciones anteriores, x_i y x_i-1.

Diagrama de flujo

secant
Diagrama de flujo del método secante

Criterio de detención del método

El método de la secante se detendrá cuando el error iterativo (ε) sea lo suficientemente pequeño, para lograr un nivel de precisión lo suficientemente aceptable.

Cabe destacar que el orden de convergencia en un punto cercano a la solución es φ (número áureo). En caso de que la aproximación inicial sea demasiado lejana o la raíz no sea simple, este método no asegura la convergencia.

Código fuente


#include <cmath>
 
#ifndef MINERR
#define MINERR 1E-6
#endif
 
typedef double (* vFunctionCall)(double x);
 
double secante(vFunctionCall fun, double x1, double x2) {
  double x0;
  int i = 0;
  do {
    x0=x1;
    x1=x2;
    x2 = x1 - (x1-x0) * fun(x1) / (fun(x1) - fun(x0));
    // if (fun(x2) == 0) { 
    //   return x2; 
    // } 
    i++;
  } while ( fabs (x1-x2) > MINERR );
 
  fprintf(stderr, "Iteraciones: %d\n", i);
  fprintf(stderr, "Error: %f\n", fabs(x1 - x2));
  return x2;
}

Pruebas y resultados

  • Casos de exito:
f(x) x_1 x_2 iteraciones Resultado
x ^ 2 – 4 1 5 9 2
x ^ 2 – 4 -100 -101 15 -2
atan(x) 1 8 9 0
cos(3 * x) – x -1.39174 -1.39174 11 -0.979367
  • Casos frontera:
f(x) x_1 x_2 iteraciones Resultado
x ^ (1/3) 1 0 1 0
x ^ 3 – x – 11 -10 5 10 2.373650
  • Casos de falla:
f(x) x_1 x_2 iteraciones Resultado
x ^ (1/3) -20 20 1 -nan
x ^ 3 – x – 11 -100 100 132415 -nan

Conclusiones

El método de la secante es un método abierto que podemos aplicar cuando la función f(x) es demasiado compleja como para obtener su derivada (que se usaría en el método de Newton-Raphson). Es decir: si f(x) es tan compleja que es dispendioso obtener f'(x), es mejor usar el método de la secante. Empero, su velocidad de convergencia es menor que la de otros métodos como Newton-Raphson, y además dicha convergencia no se asegura si la primera aproximación a la raíz no es lo suficientemente cercana a ella, ni tampoco se asegura cuando la raíz es múltiple, en dados casos nos arriesgamos a que el método no converja y no podamos encontrar la raíz.